Wakhinuddin’s Weblog

ANALISIS KOMPONEN UTAMA
(AKU)

Oleh Wakhinuddin S

A. Tujuan AKU
Menurut Tabachnick, AKU adalah teknik statistik yang digunakan manakala peneliti tertarik pada sekumpulan data yang saling berkorelasi. Tujuannya ialah untuk menemukan sejumlah variabel yang koheren dalam subkelompok, yang secara relatif independen terhadap yang lain. Selanjutnya, dikatakan bahwa penggunaan utama dari AKU adalah untuk pengembangan alat ukur yang berkaitan dengan kepribadian, dan inteligensi. AKU kebalikan dari analisis faktor, AKU bersifat kovergen sedangkan Analisis faktor divergen.
Peneliti memulai dengan sejumlah besar butir-butir yang merefleksikan sifat-sifat yang hendak diukur, dan ingin menunjukkan bahwa butir-butir itu benar-benar berguna dalam pengukuran. Sedangkan tujuan khusus analisis komponen utama adalah meringkaskan bentuk hubungan di antara variabel-variabel teramati, mereduksi jumlah variabel yang banyak menjadi lebih sedikit, atau dari dimensi yang besar menjadi dimensi yang kecil, sehingga mudah diinterpretasikan (Tabachnick and Fidell, 1989: 597-598).
Analisis Komponen Utama (AKU) bertujuan menerangkan struktur variansi-kovariansi melalui kombinasi linear dari variabel-variabel asal. AKU biasanya digunakan untuk : (1) Mengidentifikasi variabel-variabel baru yang mendasari data variabel ganda. (2) Mengurangi banyaknya dimensi himpunan variabel asal yang terdiri atas banyak variabel dan saling berkorelasi. (3) Menetralisir variabel-variabel asal yang memberikan sumbangan informasi yang relatif kecil. Variabel baru yang dimaksud di sini disebut dengan komponen utama, yang berciri: (a) merupakan kombinasi linear variabel-variabel asal; (b) jumlah kuadrat koefisien dalam kombinasi linear bernilai 1; (c) tidak berkorelasi; (d) mempunyai variansi terurut dari terbesar ke yang terkecil (Siswadi dan Suharjo, 1997: 10-11).

Menurut Johnson dan Dean, AKU terkonsentrasi pada penjelasan struktur variansi dan kovariansi melalui suatu kombinasi linear variabel-variabel asal, dengan tujuan utama melakukan reduksi data dan membuat interpretasi. Analisis komponen utama lebih baik digunakan jika variabel-variabel asal saling berkorelasi (1988: 340).

AKU akan cukup efektif jika antar p variabel asal terdapat korelasi yang cukup tinggi (2002: 5-1).

Menurut Dillon dan Goldsetin, ketika kita berhadapan dengan variabel dalam jumlah yang besar, bagaimanapun, akan timbul beberapa masalah praktis. Misalnya, untuk 10 variabel saja kita berhadapan dengan 45 korelasi yang harus dipertimbangkan; dengan 20 variabel terdapat 190 korelasi yang harus diperhatikan; dengan 40 variabel maka sebanyak 780 korelasi antarvariabel itu yang harus diekstraksi. Meningkatnya jumlah variabel akan meningkatkan banyaknya koefsiein korelasi yang harus diperhitungkan. Karena jumlah variabel yang begitu besar, maka beberapa teknik reduksi data sangat diperlukan (1984: 23). Salah satu teknik statistik yang dapat digunakan untuk mereduksi data ialah analisis komponen utama (Johnson and Dean,1988 : 340).

B. Konsep Dasar Analisis Komponen Utama (AKU)
Misalkan kita mempunyai sebanyak p variabel asal, x1, x2, . . . , xp, yang memiliki sebaran variabel ganda dengan vektor rata-rata  dan matriks kovariansi . Komponen utama seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya merupakan kombinasi linear dari p variabel asal. Secara matematik kombinasi linear yang dibentuk melalui AKU dapat diuraikan sebagai berikut

Komponen utama pertama dapat ditulis:
atau (iii)
Yang memiliki variansi sebesar:
(iv)

Pemilihan vektor koefisien Komponen Utama Pertama (KU1) adalah sedimikian rupa sehingga variansi terbesar di antara vektor koefisien yang lain. Untuk Mendapatkan hal tersebut dapat dilakukan melalui persamaan Lagrange dengan kendala , dengan memaksimumkan variansi .

Persamaan Lagrange :
(v)

Agar sistem persamaan (v) tersebut tidak bersolusi trivial, maka harus memenuhi syarat:
(vi)
Sehingga merupakan akar ciri terbesar dari matriks kovariansi S dan a1 merupakan vektor ciri yang bersesuaian dengan .
Selanjutnya Komponen Utama Kedua dapat ditulis sebagai berikut:

(vii)

dengan variansii sebesar :
(viii)
pemilihan vektor koefisien a2 adalah sedemikian sehingga variansi maksimum dengan kendala kendala dan . Untuk mendapatkan hal tersebut, prosedur yang digunakan sama seperti pemilihan vektor koefisien Kopmonen Utama Pertama, yaitu dengan persamaan Lagrange, dengan memaksimumkan variansi .
Persamaan Lagrange :

(ix)

Jika persamaan (20) dikalikan dengan didapatkan:
(x)

Jika persamaan (16) dikalikan dengan a2’ didapatkan:
(xi)

Sehingga .
Selanjutnya persamaan (ix) menjadi:
(xii)

Sehingga a2 merupakan vektor ciri yang bersesuaian dengan akar ciri terbesar kedua . Selanjutnya untuk komponen utama ke-i; i = 3, 4, …, p didapatkan dari kombinasi linear p variabel asal yang memaksimumkan variansi ( ) dengan kendala: dan kovariansi .
Secara umum variansi komponen utama ke-i dapat dinyatakan sebagai:
, i = 1, 2, . . . , p (xiii)
Selanjutnya jika persamaan (16) dikalikan dengan a1 didapatkan:
(xiv)

Dengan mensubstitusikan kendala , maka diperoleh:
(xv)

Sehingga variansi komponen utama sama dengan akar ciri yang bersesuaian. Dari kesimpulan ini, maka kontribusi suatu komponen utama ke-i sebesar:
(xvi)
dan untuk q komponen utama pertama menerangkan variansi variabel asal sebesar:
(xvii)

C. Variabilitas Populasi
Variabilitas adalah sejumlah penyimpangan skor dari nilai rata-rata atau terhadap ukuran tendesi pusat lainnya. Variabilitas dapat pula diartikan sebagai perbedaan karakteristik individu (Gall, Gall, and Bobg, 2003: 135).
Variabilitas berarti kecenderungan berubah-ubah, keadaan bervariasi, berbagai macam. Seperti dikemukakan oleh Siegel dan Morgan bahwa variabilitas adalah kecenderungan karakteristik data yang berbeda-beda antara satu dengan lainnya dalam distribusinya (1996: 175). Kelinbaum dan Kupper menjelaskan variabilitas sebagai kecenderungan hasil pengukuran dalam sampel berbeda antara satu dengan lainnya (1978: 16).
Pengukuran variabilitas merupakan bagian penting dalam inferensi statistik. Seperti dikemukakan oleh Minum bahwa, pada kenyataannya, pengukuran variabilitas merupakan kata kunci dari struktur statistik, seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sampel acak?, merupakan pertanyaan fundamental pada setiap problem dalam inferensi statistik (1978: 81-82).
Variabilitas populasi dibedakan menjadi populasi homogen dan populasi heterogen (Thorndike, 1982:111).
Populasi homogen adalah sekumpulan individu, obyek, atau kejadian yang memiliki karakteristik yang relatif sama. Sifat homogen menurut Gall adalah kemiripan sifat yang dimiliki dalam kelompok, sehingga bila sebagian dari kelompok itu dipilih akan merepresentasikan sifat kelompoknya. Sedangkan populasi heterogen adalah sekumpulan obyek, indivdiu, atau kejadian yang memiliki karakteristik yang relatif berbeda (Gall, Gall, and Bobg, 2003: 79).
Menurut Traub ada dua faktor lainnya yang dapat mempengaruhi koefisien reliabilitas, yaitu faktor skor hasil pengukuran yang bersifat subjektif dan keheterogenan populasi responden. (1994: 111).
Keheterogenan populasi responden dapat didasarkan pada usia dan tingkat kelas (grade) siswa. Traub memberikan sebuah ilustrasi eksperimen mengenai penguasaan kosa kata. Populasi eksperimen dibuat dalam dua kelompok, yaitu poulasi siswa kelas 6 dan populasi siswa yang terdiri atas kelas 5, kelas 6, dan kelas 7. Dijelaskan bahwa koefisien reliabilitas dapat ditingkatkan melalui eksperimen yang populasinya teridiri atas kelas 5, kelas 6, dan kelas 7 dari pada populasinya hanya kelas 6. Hal ini disebabkan oleh variansi skor tulen yang dihasilkan lebih besar pada populasi yang lebih heterogen (Traub, 1994: 110).

D. CONTOH PEMAKAIAN AKU
Penelitian yang berkaitan dengan kestabilan komponen utama telah dilakukan oleh Feeney dan Hester (1967). Data yang digunakan ialah harga-harga pada “stock market” selama 12 tahun (1951-1963). Hasil penelitiannya menemukan adanya kestabilan komponen utama yang dihasilkan antarsub periode selama 12 tahun. Krzanowski (1982) menyelidiki perbedaan antara komponen utama melalui perilaku  (sudut antara matriks kovariansi) yang dihasilkan oleh analisis komponen utama. Dalam penelitian ini digunakan data simulasi, dengan memanipulasi jumlah sampel yang berbeda-beda antara kelompok individu yang dijadikan subyek. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa  antara komponen utama cukup kecil, yang berarti subset antarkomponen utama tidak berbeda secara signifikan. Selanjutnya Krzanowski menjelaskan, kestabilan komponen utama (zk) terjadi karena adanya pemisahan variansi komponen utama yang berdekatan (k dan k-1). k adalah besarnya variansi yang dijelaskan oleh komponen utama ke k, dan k-1 menyatakan besarnya variansi yang dijelaskan oleh komponen utama ke k-1. Overall dan Klett menjelaskan bahwa kestabilan komponen utama diperoleh karena proses iterasi yang dilakukan secara terus menerus untuk menentukan vektor komponen utama, sampai diperoleh titik stabilitas vektor (Overall, and Klett, 1972: 61).
Overall dan Klett, juga telah melakukan evaluasi terhadap kestabilan komponen utama. Penelitian Overall dan Klett dimaksudkan untuk melihat pola profil “Psychiatric Sympton”. Data yang dianalisis diambil dari bank data yang tersedia, dengan jumlah total 6000. Data tersebut dibagi ke dalam empat subsampel secara independen, setiap sampel berukuran n = 1500. Penggunaan analisis komponen utama dimaksudkan untuk mendapatkan suatu kombinasi linear yang terboboti variabel ‘Sympton-rating” dengan menentukan variansi maksimum dalam pola profil sympton. Dari penelitian ini dihasilkan bahwa keempat gugus subsampel memberikan koefisien dengan pola yang konsisten. Selanjutnya dilakukan pengujian validitas data berdasarkan fungsi komponen utama pertama yang dihasilkan setiap subsampel, dengan koefisien korelasi di atas 0,98 (Overall, and Klett, 1972: 72).
Marpaung dalam laporan hasil penelitiannya, menjelaskan bahwa ditinjau dari berbagai jumlah data yang digunakan pada pendugaan parameter model, analisis komponen utama berubah sangat kecil (lebih stabil) dibandingkan metode kuadrat terkecil. Hasil-hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa analisis komponen utama merupakan sebuah pendekatan yang dapat digunakan untuk pendugaan parameter model yang lebih konsisten.